ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি
পিডিএফ ডাউনলোড
ত্রিকোণমিতিক অনুপাতঃ মান নির্ণয়, অভেদসমূহ প্রমাণ
SSC Higher Math Chapter 8.2
১. ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করে মান নির্ণয় করঃ
cos π/4
ক) ——————–
cos π/6+sin π/3
সমাধানঃ
cos π/4
——————–
cos π/6+sin π/3
1/√2
=——————
√3/2 + √3/2
1/√2
=—————
2.√3/2
1/√2
=—————
√3
=1/√2✕1/√3
=1/√6
খ) tan π/4+tan π/6.tan π/3
সমাধানঃ
tan π/4+tan π/6-tan π/3
=1+1/√3✕√3
=1+1
=2
২. cosθ = -4/5 এবং π < θ < 3π/2 হলে tanθ এবং sinθ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
cosθ = -4/5 এবং π < θ < 3π/2
এখন,
cosθ = -4/5
বা, cos2θ = (-4/5)2
বা, cos2θ = 16/25
বা, 1-sin2θ = 16/25
বা, 1-16/25 = sin2θ
25-16
বা, ———- = sin2θ
25
বা, 9/25 = sin2θ
বা, sinθ = ±3/5
যেহেতু π < θ < 3π/2,সেহেতু θ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত এবং তৃতীয় চতুর্ভাগে sin ঋণাত্মক
সেহেতু sinθ = -3/5
আবার,
tanθ
sinθ
=——–
cosθ
-3/2
=——–
-4/5
= 3/4
৩. sinA = 2/√5 এবং π/2 < A < π এর ক্ষেত্রে cosA এবং tanA এর মান কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
sinA = 2/√5
বা, sin2A=4/5 [বর্গ করে]
বা, 1-cos2A=4/5
বা, 1-4/5=cos2A
বা, 1/5 = cos2A
বা, cosA = ±√1/5
বা, cosA = ± 1/√5
যেহেতু π/2 < A < π তাই, A দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত এবং দ্বিতীয় চতুর্ভাগে cos ঋণাত্মক।
∴ cosA = – 1/√5
এবং
tanA
sinA
=——–
cosA
2/√5
=———-
– 1/√5
= – 2
৪. দেওয়া আছে, cosA = ½ এবং ও একই চিহ্নবিশিষ্ট । sinA এবং tanA এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
cosA = ½
বা, cos2A= ¼ [বর্গ করে]
বা, 1-sin2A = ¼
বা, 1- ¼ = sin2A
বা, sin2A=3/4
বা, sinA = ± √3/2
যেহেতু cosA ধণাত্মক সেহেতু sinA = √3/2
এবং,
tanA
sinA
=———
cosA
√3/2
=———-
½
= √3
৫. দেওয়া আছে, tanA=-5/12 এবং tanA ও cosA বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট। sinA ও cosA এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
tanA=-5/12
বা, tan2A=25/144 [বর্গ করে]
বা, sec2A-1=25/144
বা, sec2A=25/144+1
বা, sec2A=169/144
বা, secA=±13/12 [বর্গমূল করে]
বা, cos=±12/13
যেহেতু, tanA ও cosA বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট
সেহেতু, cosA=12/13
আবার,
tanA
sinA
=———–
cosA
∴ sinA=tanA.cosA
=-5/12.12/13
=-5/13
৬. নিন্মলিখিত অভেদসমূহ প্রমাণ করঃ
ক) tanA+cotA=secAcosecA
সমাধানঃ
বামপক্ষ
tanA+cotA
=sinA/cosA+cosA/sinA
sin2A+cos2A
=——————–
cosAsinA
1
=————— [sin2A+cos2A=1]
cosAsinA
=1/cosA+1/sinA
=secA.cosecA
=ডানপক্ষ
∴ tanA+cotA=secAcosecA
খ) এর সমাধানঃ
গ) এর সমাধানঃ
ঘ) sec4θ-sec2θ = tan4θ+tan2θ
সমাধানঃ
বামপক্ষ
=sec4θ-sec2θ
=sec2θ(sec2θ-1)
=(1+tan2θ)(1+tan2θ-1) [sec2θ=1+tan2θ]
=(1+tan2θ)tan2θ
=tan4θ+tan2θ
=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
ঙ) (secθ-cosθ)(cosecθ-sinθ)(tanθ+cotθ) = 1
সমাধানঃ
বামপক্ষ
=(secθ-cosθ)(cosecθ-sinθ)(tanθ+cotθ)
=(1/cosθ-cosθ)(1/sinθ-sinθ)(sinθ/cosθ+cosθ/sinθ)
1-cos2θ 1-sin2θ sin2θ+cos2θ
=———.———.————–
cosθ sinθ cosθsinθ
sin2θ.cos2θ.1
=————————
cosθ.sinθ.cosθsinθ
sin2θ.cos2θ
=—————-
cos2θsin2θ
= 1
= ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
tanθ+secθ-1
চ)——————- = tanθ+secθ
tanθ-secθ+1
সমাধানঃ
বামপক্ষ
tanθ+secθ-1
=———————
tanθ-secθ+1
(secθ+tanθ)-(sec2θ-tan2θ)
=——————————–
tanθ-secθ+1
(secθ+tanθ)-(secθ-tanθ)(secθ+tanθ)
=——————————————
tanθ-secθ+1
(secθ+tanθ)(1-secθ+tanθ)
=———————————
1-secθ+tanθ
=secθ+tanθ
=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
৭. যদি cosecA = a/b হয়, যেখানে a > b > 0, তবে প্রমাণ কর যে,
±b
tanA = ———–
√(a2-b2)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
cosecA = a/b
বা, cosec2A=a2/b2 [বর্গ করে]
বা, 1+cot2A= a2/b2 [cosec2A-cot2A=1]
বা, cot2A= (a2/b2)-1
1 a2-b2
বা, ——- = ———
tan2A b2
b2
বা, tan2A = ————
a2-b2
±b
বা, tanA = ———–
√(a2-b2)
±b
∴tanA = ———– [প্রমাণিত]
√(a2-b2)
৮. যদি cosθ-sinθ = √2.sinθ হয়, তবে দেখাও যে, cosθ+sinθ=√2.cosθ
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
cosθ-sinθ = √2.sinθ
বা, cosθ=√2.sinθ+sinθ
বা, cosθ=sinθ(√2+1)
বা, (√2-1)cosθ=sinθ(√2+1)(√2-1) [(√2-1) দ্বারা উভয়পক্ষে গুণ করে]
বা, √2cosθ-cosθ=(2-1)sinθ
বা, √2cosθ-cosθ=sinθ
বা, cosθ+sinθ=√2cosθ [দেখানো হলো]
৯. tanθ=x/y, x≠y হলে,
xsinθ+ycosθ
—————-
xsinθ-ycosθ
এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
tanθ=x/y
sinθ x
বা, ——- = —–
cosθ y
x.sinθ x.x
বা, ———- = ——
y.cosθ y.y
[উভয়পক্ষকে x/y দ্বারা গুণ করে]
x.sinθ x2
বা, ———- = ——
y.cosθ y2
xsinθ+ycosθ x2+y2
বা, —————- =——–
xsinθ-ycosθ x2-y2
[যোজন-বিয়োজন করে]
১০. tanθ+secθ=x হলে,
দেখাও যে,
x2-1
sinθ = ———
x2+1
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
tanθ+secθ=x
বা, sinθ/cosθ+1/cosθ=x
1+sinθ
বা, ———– =x
cosθ
(1+sinθ)2
বা, ————- =x2
cos2θ
[উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
(1+sinθ)2
বা, ————- =x2
1-sin2θ
[যেহেতু cos2θ=1-sin2θ]
(1+sinθ)(1+sinθ)
বা, ———————– =x2
(1-sinθ)(1+sinθ)
(1+sinθ)
বা, ————=x2
(1-sinθ)
1+sinθ+1-sinθ x2+1
বা, ———————=———-
1+sinθ-1+sinθ x2-1
[যোজন-বিয়োজন করে]
2 x2+1
বা, ———=———-
2sinθ x2-1
x2-1
বা, sinθ =———-
x2+1
[দেখানো হলো]
১১. acosθ-bsinθ = c হলে, প্রামাণ কর যে, asinθ+bcosθ = ±√(a2+b2-c2)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
acosθ-bsinθ = c……..(i)
ধরি,
acosθ+bsinθ = x ………(ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) বর্গ করে যোগ করে পাই,
a2cos2θ+b2sin2θ-2ab sinθ cosθ+a2sin2θ+b2cos2θ+2ab sinθ cosθ =c2+x2
বা, a2(sin2θ+cos2θ)+b2(sin2θ+cos2θ)=c2+x2
বা, a2.1+b2.1=c2+x2
বা, a2+b2=c2+x2
বা, x2=a2+b2-c2
বা, x=±√(a2+b2-c2)
বা, asinθ+bcosθ = ±√(a2+b2-c2) [প্রমাণিত]
১২. মান নির্ণয় করঃ
ক) sin2 π/6 + cos2 π/4 + tan2 π/3 + cot2 π/6
সমাধানঃ
sin2 π/6 + cos2 π/4 + tan2 π/3 + cot2 π/6
= (½)2+(1/√2)2+(√3)2+(√3)2
= ¼+ ½ + 3 + 3
1+2+12+12
=——————-
4
= 27/4
খ) 3tan2 π/4 – sin2 π/3 – ½cot2 π/6 + 1/3.sec2 π/4
সমাধানঃ
3tan2 π/4 – sin2 π/3 – ½cot2 π/6 + 1/3.sec2 π/4
=3.(1)2-(√3/2)2- ½(√3)2+ 1/3(√2)2
=3-3/4-3/2+2/3
36-9-18+8
=—————–
12
=17/12
গ) tan2 π/4 – sin2 π/3 tan2 π/6 tan2 π/3 cos2 π/6
সমাধানঃ
tan2 π/4 – sin2 π/3 tan2 π/6 tan2 π/3 cos2 π/6
=(1)2-(√3/2)2.(1/√3)2.(√3)2.(1/√2)2
=1-3/4.1/3.3.1/2
=1-3/8
8-3
=——–
8
=5/8
tan π/3 -tan π/6
ঘ) ——————–
1+tan π/3 tan π/6
+cos π/3 cos π/6 + sin π/3 sin π/6
সমাধানঃ
tan π/3 -tan π/6
——————–
1+tan π/3 tan π/6
+cos π/3 cos π/6 + sin π/3 sin π/6
√3-1/√3
=—————-
1+√3.1/√3
+ ½.√3/2+√3/2.½
3-1
——
√3
=——+√3/4+√3/4
1+1
2/√3
=——+√3/4+√3/4
2
=1/√3+√3/4+√3/4
=1/√3+2.√3/4
=1/√3+√3/2
2+√3. √3
=————-
- √3
2+3
=———-
2.√3
5
=———-
2.√3
5.√3
=————-
2.√3. √3
5.√3
=———
2.3
5.√3
=———
6
১৩. সরল করঃ
1-sin2 π/6 cos2 π/3+cos2 π/6
————- ✕ ———————–
1+sin2 π/4 cosec2 π/2-cot2 π/2
÷ (sin π/4 tan π/6) + (sec2 π/4 – tan2 π/4)
সমাধানঃ
[বিশেষ কারনে এখানে ভেঙ্গে ভেঙ্গে দেখানো হলো, ছাত্র-ছাত্রীরা একত্রে করবে]
1-sin2 π/6
————-
1+sin2 π/4
1 – (½)2
=————-
1 + (1/√2)2
1 – ¼
=———-
1 + ½
¾
=——-
3/2
=3/4✕2/3
= ½
আবার,
cos2 π/3+cos2 π/6
———————–
cosec2 π/2-cot2 π/2
(½)2+(√3/2)2
=——————-
1-0
= ¼ + 3/4
= 4/4
= 1
এবং,
(sin π/4 tan π/6) + (sec2 π/4 – tan2 π/4)
=(√3/2.1/√3)+{(2/√3)2-(1/√3)2}
= ½ + (4/3 -1/3)
= ½ + 3/3
= ½ + 1
অতএব, প্রদত্ত রাশি
= ½ ✕ 1 ÷ ½ + 1
= ½ ✕ 1 ✕ 2 + 1
= 1 + 1
= 2
গণিতের আরো গুরুত্বপূর্ণ পোস্ট পড়তে নিচের দেওয়া লিংকে কিক্ল করুন।
বিসিএস গণিত লিখিত পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান পিডিএফ ডাউনলোড
গণিতের বেসিক থেকে কিছু গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন সমাধান প্রায় সব চাকরির পরীক্ষায় থাকে।
অষ্টম শ্রেণি গণিত প্যাটার্ন থেকে mcq প্রশ্ন সমাধান
গণিতের শর্টকাট টেকনিকে শিখুন সকল সমস্যা সমাধান করুন পিডিএফ ডাউনলোড
পিতা পুত্রের অংকের বয়স ভিত্তিক প্রশ্ন সমাধান পিডিএফ ডাউনলোড
জ্যামিতি থেকে গুরুত্বপূর্ণ কিছু MCQ প্রশ্ন সমাধান পিডিএফ ডাউনলোড
গণিতের শর্টকাট টেকনিক পিডিএফ ডাউনলোড
বর্গ বর্গমূল, ঘন ঘনমূল দশমিক সংখ্যার বর্গমূল PDF Download
বীজগণিত ও পাটিগণিতের সকল সূত্র পিডিএফ ডাউনলোড
গণিতের বেসিক থেকে গুরুত্বপূর্ণ কিছু সূত্র ও সংজ্ঞা পিডিএফ ডাউনলোড
গণিতের গুরুত্বপূর্ণ ৩০টি শর্টকার্ট টেকনিক পিডিএফ ডাউনলোড
শর্ট-টেকনিকে নৌকা স্রোতের বেগ সম্পর্কিত সমস্যা সমাধান করুন পিডিএফ ডাউনলোড
মুখে মুখে বা ঝটপটে লাভ-ক্ষতির অংক করার পদ্ধতি পিডিএফ ডাউনলোড
প্রাইমারি ম্যাথ অ্যানালাইসিস শর্ট টেকনিক পিডিএফ ডাউনলোড
বিসিএস পাটি গণিত প্রশ্ন সমাধান পিডিএফ ডাউনলোড
ঐকিক নিয়ম অংক করার শর্টকার্ট পদ্ধতি পিডিএফ ডাউনলোড
ত্রিকোণমিতির সকল সূত্র এক সাথে
ত্রিকোণোমিতি থেকে বিভিন্ন চাকরীর পরীক্ষায় আসা প্রশ্নের শর্টকাট
Download From Google Drive
Download From Yandex
প্রয়োজনীয় মূর্হুতে খুঁজে পেতে শেয়ার করে রাখুন.! আপনার প্রিয় মানুষটিকে “send as message”এর মাধ্যমে শেয়ার করুন। হয়তো এই গুলো তার অনেক কাজে লাগবে এবং উপকারে আসবে।