নবম–দশম শ্রেণি সাধারণ গণিত অনুশীলনী–৩.২

ঘন ও ঘন সম্পর্কিত সমস্যাবলি

ঘন ও ঘন সম্পর্কিত সমস্যাবলি:

১. সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় করঃ

ক) 2×2+3y2

সমাধানঃ

2×2+3y2 এর ঘন

=(2×2+3y2)3

=(2×2)3+3.(2×2)2.3y2+3.2×2.(3y2)2+(3y2)3

=8×6+3.4×4.3y2+3.2×2.9y4+27y6

=8×6+36x4y2+54x2y4+27y6

খ) 7m2-2n

সমাধানঃ

7m2-2n এর ঘন

=(7m2-2n)3

=(7m2)3-3.(7m2)2.2n+3.7m2.(2n)2-(2n)3

=343m6-3.49m4.2n+3.7m2.4n2-8n3

=343m6-294m4n+84m2n2-8n3

গ) 2a-b-3c

সমাধানঃ

2a-b-3c এর ঘন

=(2a-b-3c)3

={(2a-b)-3c}3

=(2a-b)3-3.(2a-b)2.3c+3.(2a-b).(3c)2-(3c)3

=(2a)3-3.(2a)2.b+3.2a.b2-b3-3{(2a)2-2.2a.b+b2)}3c+(6a-3b).9c2-27c3

=8a3-3.4a2b+6ab2-b3-3(4a2-4ab+b2)3c+54ac2-27bc2-27c3

=8a3-12a2b+6ab2-b3-36a2c+36abc-9b2c+54ac2-27bc2-27c3

২. সরল করঃ

ক) (7x+3b)3-(5x+3b)3-6x(7x+3b)(5x+3b)

সমাধানঃ

মনে করি, 7x+3b=m, 5x+3b=n

এখন, m-n=7x+3b-5x-3b=2x

তাহলে, প্রদত্ত রাশি

=(m)3-(n)3-6x.mn

=(m)3-(n)3-3mn.2x

=(m)3-(n)3-3mn(m-n)

=(m)3-(n)3-3m2 n+3mn2

=(m-n)3

=(2x)3

=8×3

খ) (a+b+c)3-(a-b-c)3-6(b+c){a2-(b+c)2}

সমাধানঃ

মনে করি, a+b+c=a+(b+c)=m; a-b-c=a-(b+c)=n

এখন, m-n=a+b+c-a+b+c=2(b+c)

তাহলে, প্রদত্ত রাশি=

(a+b+c)3-(a-b-c)3-6(b+c){a2-(b+c)2}

=(a+b+c)3-(a-b-c)3-3.2(b+c)(a+b+c)(a-b-c)

=m3-n3-3.(m-n)m.n

=m3-n3-3m2n+3mn2

=(m-n)3

={2(b+c)}3

=8(b+c)3

গ) (m+n)6-(m-n)6-12mn(m2-n2)2

সমাধানঃ

(m+n)6-(m-n)6-12mn(m2-n2)2

={(m+n)2}3-{(m-n)2}3-3.4mn(m2-n2)2

={(m+n)2}3-{(m-n)2}3-3.4mn{(m+n)(m-n)2

={(m+n)2}3-{(m-n)2}3-3.4mn{(m+n)2(m-n)2…………….(1)

মনে করি, (m+n)2=p; (m-n)2=q

এবং, p-q=(m+n)2-(m-n)2=(m+n-m+n)(m+n+m-n)=2n.2m=4mn

(1) এ মান বসিয়ে,

p3-q3-3.(p-q)p.q

= p3-q3-3p2q+3pq2

=(p-q)3

={(m+n)2-(m-n)2}3

=(4mn)3  [a+b)2-(a-b)2=4ab]

=64m3n3

ঘ) (x+y)(x2-xy+y2)+(y+z)(y2-yz+z2)+(z+x)(z2-zx+x2)

সমাধানঃ

(x+y)(x2-xy+y2)+(y+z)(y2-yz+z2)+(z+x)(z2-zx+x2)

=(x3+y3)+(y3+z3)+(z3+x3)

=x3+y3+y3+z3+z3+x3

=2×3+2y3+2z3

=2(x3+y3+z3)

ঙ) (2x+3y-4z)3+(2x-3y+4z)3+12x{4×2-(3y-4z)2}

সমাধানঃ

(2x+3y-4z)3+(2x-3y+4z)3+12x{4×2-(3y-4z)2}

=(2x+3y-4z)3+(2x-3y+4z)3+12x{(2x)2-(3y-4z)2}

={2x+(3y-4z)}3+{2x-(3y-4z)}3+12x{2x-(3y-4z)}{2x+(3y-4z)}

={2x+(3y-4z)}3+{2x-(3y-4z)}3+3.4x{2x-(3y-4z)}{2x+(3y-4z)}…….(1)

মনে করি,2x+(3y-4z)=m; 2x-(3y-4z)=n

তাহলে, m+n=2x+3y-4z+ 2x-3y+4z= 4x

(1) নং এ মান বসিয়ে,

m3+n3+3(m+n)mn

= m3+n3+3m2n+3mn2

=(m+n)3

=(4x)3

=64×3

৩. a-b=5 এবং ab=36 হলে, a3-b3 এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a-b=5 এবং ab=36

আমরা জানি, a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)

=53+3.36.5

=25+540

=665

৪. যদি a3-b3 =513 এবং a-b=3 হয়, ab তবে এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a3-b3 =513 এবং a-b=3

আমরা জানি,

a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)

বা, 513=32+3ab.3

বা, 513=27+9ab

বা, 9ab=513-27

বা, 9ab=486

বা, ab=486/9

বা, ab=54

৫. x-19 এবং y=-12 হলে, 8×3+36x2y+54xy2+27y3 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x-19 এবং y=-12

প্রদত্ত রাশি

=8×3+36x2y+54xy2+27y3

=(2x)3+3.(2x)2 3y+3.2x.(3y)2+(3y)3

=(2x+3y)3

={2.19+3.(-12)}3

=(38-36)3

=(2)3

=8

৬. যদি a=15 হয় তবে, 8a3+60a2+150a+130 এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a=15

প্রদত্ত রাশি

=8a3+60a2+150a+130

=(2a)3+3.(2a)2 .5+3.2a.52+53+5

=(2a+5)3+5

=(2.15+5)3+5

=(30+5)3+5

=(35)3+5

=42875+5

=42880

৭. যদি a+b=m, a2+b2=n এবং a3+b3=p3 হয় তবে দেখাও যে, m3+2p3=3mn

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a+b=m, a2+b2=n এবং a3+b3=p3

বামপক্ষ

= m3+2p3

=(a+b)3+2.(a3+b3) [মান বসিয়ে]

=a3+3a2b+3ab2+b3+2a3+2b2

=3a3+3b3+3a2b+3ab2

=3(a3+b3+a2b+ab2)

=3(a3+a2b+ b3+ab2)

=3{a2(a+b)+b2(a+b)}

=3.(a+b)(a2+b2)

=3.m.n [মান বসিয়ে]

=3mn

=ডানপক্ষ(প্রমাণিত)

৮. a+b=3 এবং ab=2 হলে (ক) a2-ab+b2 এবং (খ) a3+b3 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a+b=3 এবং ab=2 হলে (ক) a2-ab+b2

প্রদত্ত রাশি (ক) এর ক্ষেত্রে,

= a2-ab+b2

= a2+b2-ab

=(a+b)2-2ab-ab [a2+b2=(a+b)2-2ab]

=32-2.2-2

=9-4-2

=9-6

=3

প্রদত্ত রাশি (খ) এর ক্ষেত্রে,

a3+b3

=(a+b)3-3ab(a+b)

=33-3.2.3

=27-18

=9

৯. a-b=5 এবং ab=36 হলে, (ক) a2+ab+b2 এবং (খ) a3-b3 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a-b=5 এবং ab=36

প্রদত্ত রাশি (ক) এর ক্ষেত্রে,

a2+ab+b2

=(a-b)2+2ab+ab [a2+b2=(a-b)2+2ab]

=52+3ab

=25+3.36

=25+108

=133

প্রদত্ত রাশি (খ) এর ক্ষেত্রে,

a3-b3

=(a-b)3+3ab(a-b)

=53+3.36.5 [মান বসিয়ে]

=125+540

=665

১০. m+1/m=a হলে, m3+1/m3 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, m+1/m=a

প্রদত্ত রাশি

= m3+1/m3

=(m+1/m)3-3.m.1/m(m+1/m)

=a3-3a [মান বসিয়ে]

১১. x-1/x=p হলে, x3-1/x3 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x-1/x=p

প্রদত্ত রাশি

= x3-1/x3

=(a-1/x)3+3.x.1/x(x-1/x)

=(a-1/x)3+3.(x-1/x)

=p3-3p [মান বসিয়ে]

১২. যদি a-1/a=1 হয়, তবে দেখাও যে, a3-1/a3=4.

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a-1/a=1

বামপক্ষ

= a3-1/a3

=(a-1/a)3+3.a.1/a(a-1/a)

=13+3.1

=1+3

=4

=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

১৩. যদি a+b+c=0 হয়, তবে দেখাও যে,

ক) a3+b3+c3=3abc

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

a+b+c=0

বা,  a+b=-c

বা,  (a+b)3=(-c)3

বা,  a3+b3+3ab(a+b)=-c3

বা,  a3+b3+3ab(-c)=-c3 [a+b=-c]

বা,  a3+b3-3abc=c3

বা,  a3+b3+c3=3abc (দেখানো হলো)

(খ)         (b+c)2

——–

3bc

+             (c+a)2

——-

3ca

+             (a+b)2

——-

3ab

=

1

দেওয়া আছে,

a+b+c=0

বা,          a+b=-c

বা,          c+a=-b

বা,          b+c=-a

এখন, বামপক্ষ

=             (b+c)2

——-

3bc

+             (c+a)2

——

3ca

+             (a+b)2

——-

3ab

=             a(b+c)2+b(c+a)2+c(a+b)2

————————————

3abc

=             a.(-a)2+b.(-b)2+c.(-c)2

——————————

3abc

=             a3+b3+c3

————–

3ab

=             (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc

—————————————-

3abc

=             0+3abc

3abc

=             0+1

=             1

=             ডানপক্ষ              (প্রমাণিত)

১৪. p-q=r হলে, দেখাও যে, p3-q3-r3=3pqr

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

p-q=r

বা,  (p-q)3=r3

বা,  p3-q3-3pq(p-q)=r3

বা,  p3-q3-3pq.r=r3

বা,  p3-q3-r3=3pqr (দেখানো হলো)

১৫. 2x-2/x=3 হলে, দেখাও যে, 8(x3-1/x3)=63

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

2x-2/x=3

বা,  2(x-1/x)=3

বা,  x-1/x=3/2

বা,  (x-1/x)3=(3/2)3

বা,  x3-(1/x)3-3.x.1/x.(x-1/x)=27/8

বা,  x3-1/x3-3.(x-1/x)=27/8

বা,  x3-1/x3-3.(3/2)=27/8

বা,  x3-1/x3-9/2=27/8

বা,  x3-1/x3=27/8+9/2

বা,  x3-1/x3=(27+36)/8

বা,  8(x3-1/x3)=63 (দেখানো হলো)

১৬. a=√6+√5 হলে,

(a6-1)

——–এর মান নির্ণয় কর।

a3

১৭. x-1/x=√3 যেখানে x≠0

ক) প্রমাণ কর যে, x²-√3x=1

খ) প্রমাণ কর যে, 23(x2+1/x2)=5(x4+1/x4)

সমাধানঃ

বামপক্ষ

= 23(x2+1/x2)

=23{(x-1/x)2+2.x.1/x}

=23{(√3)2+2}

=23(3+2)

=23.5

=115

ডানপক্ষ

=5(x4+1/x4)

=5{(x2)2+(1/x2)2}

=5{(x2+1/x2)2-2.x2.1/x2}

=5{(5)2-2}

=5.(25-2)

=5.23

=115

∴23(x2+1/x2)=5(x4+1/x4) [প্রমাণিত)

গ) x6+1/x6 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

খ হতে প্রাপ্ত,

x2+1/x2=5

এখন,

x6+1/x6

=(x2)3+(1/x2)3

=(x2+1/x2)3-3.x2.1/x2(x2+1/x2)

=(5)3-3.5

=125-15

=110

গণিতের আরো গুরুত্বপূর্ণ পোস্ট পড়তে নিচের দেওয়া লিংকে কিক্ল করুন।

বিসিএস গণিত লিখিত পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান পিডিএফ ডাউনলোড

গণিতের বেসিক থেকে কিছু গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন সমাধান প্রায় সব চাকরির পরীক্ষায় থাকে।

অষ্টম শ্রেণি গণিত প্যাটার্ন থেকে mcq প্রশ্ন সমাধান

গণিতের শর্টকাট টেকনিকে শিখুন সকল সমস্যা সমাধান করুন পিডিএফ ডাউনলোড

পিতা পুত্রের অংকের বয়স ভিত্তিক প্রশ্ন সমাধান পিডিএফ ডাউনলোড

জ্যামিতি থেকে গুরুত্বপূর্ণ কিছু MCQ প্রশ্ন সমাধান পিডিএফ ডাউনলোড

গণিতের শর্টকাট টেকনিক পিডিএফ ডাউনলোড

বর্গ বর্গমূল, ঘন ঘনমূল দশমিক সংখ্যার বর্গমূল PDF Download

বীজগণিত ও পাটিগণিতের সকল সূত্র পিডিএফ ডাউনলোড

গণিতের বেসিক থেকে গুরুত্বপূর্ণ কিছু সূত্র ও সংজ্ঞা পিডিএফ ডাউনলোড

গণিতের গুরুত্বপূর্ণ ৩০টি শর্টকার্ট টেকনিক পিডিএফ ডাউনলোড

শর্ট-টেকনিকে নৌকা স্রোতের বেগ সম্পর্কিত সমস্যা সমাধান করুন পিডিএফ ডাউনলোড

মুখে মুখে বা ঝটপটে লাভ-ক্ষতির অংক করার পদ্ধতি পিডিএফ ডাউনলোড

প্রাইমারি ম্যাথ অ্যানালাইসিস শর্ট টেকনিক পিডিএফ ডাউনলোড

বিসিএস  পাটি গণিত প্রশ্ন সমাধান  পিডিএফ ডাউনলোড

ঐকিক নিয়ম অংক করার শর্টকার্ট পদ্ধতি পিডিএফ ডাউনলোড

ত্রিকোণমিতির সকল সূত্র এক সাথে

ত্রিকোণোমিতি থেকে বিভিন্ন চাকরীর পরীক্ষায় আসা প্রশ্নের শর্টকাট

Download From Google Drive

Download

Download From Yandex

Download

প্রয়োজনীয় মূর্হুতে খুঁজে পেতে শেয়ার করে রাখুন.! আপনার প্রিয় মানুষটিকে “send as message”এর মাধ্যমে শেয়ার করুন। হয়তো এই গুলো তার অনেক কাজে লাগবে এবং উপকারে আসবে।