বিসিএস গণিত লিখিত পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান
পিডিএফ ডাউনলোড
মান নির্ণয়
১। (ক) x-1/x= 3 হলেX6 + 1/x6 এর মাননির্ণয় করুন। (২.৫)
সমাধান:
X6 + 1/x6
= (x2)3 + (1/x2)3
= (x2 + 1/x2)3 – 3. X2. 1/x2(x2 + 1/x2)
={(x – 1/x)2 + 2.x. 1/x}3 -3{(x – 1/x)2 + 2.x. 1/x}
={(√3)2 + 2}3 – 3{(√3)2 + 2}
= (3+2)3 – 3(3+2)
=53 – 3×5
=125 – 15
= 110
সমাধান
(খ) সমাধান করুনঃ 1/(a+b+x) = 1/a + 1/b + 1/x (২.৫)
সমাধান:
দেওয়া আছে,
1/(a+b+x) = 1/a + 1/b + 1/x
Or, 1/(a+b+x) – 1/x = 1/a + 1/b
Or, (x- a- b – x) / x(a+b+x) = (a+b)/ab
Or, -(a+b)/ x(a+b+x) = (a+b)/ab
Or, -1/ x(a+b+x) = 1/ab
Or, ax + bx +x2 = – ab
Or, x2 + bx + ax + ab = 0
Or, x(x+b) + a(x+b) = 0
Or, (x+b)(x+a) = 0
এখন,
X+b = 0
Or, x = -b
অথবা,
X+a = 0
Or, x = -a
অতএব, x = -a, -b
উৎপাদক
২। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুনঃ
(ক) 54x4 + 27x3a – 16x -8a (২.৫)
সমাধান:
54x4 + 27x3a – 16x -8a
=27x3(2x+a) – 8(2x+a)
=(2x+a)(27x3 – 8)
=(2x+a){(3x)3 – 23)
=(2x+a)(3x-2){(3x)2 + 3x×2 +22)
=(2x+a)(3x-2)(9×2 + 6x +4)
(খ) 12x2 + 35x + 18 (২.৫)
সমাধান:
12x2 +35x + 18
= 12x2 + 8x + 27x + 18
=4x(3x + 2) + 9(3x + 2)
=(3x + 2)(4x + 9)
লাভ–ক্ষতি
৩। একজন দোকানী একই মূল্যে দুইটিজামা বিক্রয় করেন।একটি জামায় তিনি10% লাভ করেন এবংঅন্যটিতে 10% লোকসান দেন।তার শতকরা লাভবা ক্ষতি কত? (৫)
সমাধান:
ধরি, উভয় জামারবিক্রয়মূল্য x টাকা
10% লাভের ক্ষেত্রে,
বিক্রয়মূল্য 110 টাকা হলেক্রয়মূল্য 100 টাকা
বিক্রয়মূল্য 1 টাকা হলেক্রয়মূল্য 100/110 টাকা
বিক্রয়মূল্য x টাকা হলেক্রয়মূল্য 100x/110টাকা = 10x/11 টাকা
আবার,
10% ক্ষতির ক্ষেত্রে,
বিক্রয়মূল্য 90 টাকা হলেক্রয়মূল্য 100 টাকা
বিক্রয়মূল্য 1 টাকা হলেক্রয়মূল্য 100/90 টাকা
বিক্রয়মূল্য x টাকা হলেক্রয়মূল্য 100x/90 টাকা = 10x/9 টাকা
মোট ক্রয়মূল্য = (10x/11 + 10x/9) টাকা= 200x/99 টাকা
মোট বিক্রয়মূল্য = (x + x) টাকা= 2x টাকা
এখানে, ক্রয়মূল্য > বিক্রয়মূল্য। অর্থাৎ, ক্ষতি হয়েছে।
ক্ষতি = (200x/99 – ২x) টাকা
= (200x – 198x)/99 টাকা
= 2x/99 টাকা
200x/99 টাকায় ক্ষতিহয় 2x/99 টাকা
1 টাকায় ক্ষতিহয় (2x × 99)/(99 × 200x) টাকা
100 টাকায় ক্ষতিহয় (2x × 99) ×100 / (99 × 200x) টাকা
=1 টাকা
উত্তর: ক্ষতি ১%
ত্রিকোনমিতি
৪ (ক) 7sin2θ + 3cos2θ = 4 হলে, tanθ এর মাননির্ণয় করুন। (২.৫)
সমাধান:
দেয়া আছে,
7sin2θ + 3cos2θ = 4
Or, 7sin2θ + 3(1 – sin2θ) = 4
Or, 7sin2θ + 3 – 3sin2θ = 4
Or, 4 sin2θ = 1 ———(1)
আবার,
7sin2θ + 3cos2θ = 4
Or, 7(1 – cos2θ) + 3cos2θ = 4
Or, 7 – 7cos2θ + 3cos2θ = 4
Or, – 4cos2θ = -3
Or, 4cos2θ = 3 ———(2)
এখন,
(1) ÷ (2) থেকে পাই,
4sin2θ/4cos2θ = 1/3
Or, tan2θ = 1/3
Or, tanθ = ± 1/√3
(খ) sinθ/x = coseθ/y হলে, প্রমাণ করুন যে, sinθ – coseθ = (x-y)/√(x2 + y2) (২.৫)
সমাধান:
দেয়া আছে,
Sinθ/x = cosθ/y
Or, ySinθ = xcosθ
Or, y2Sin2θ = x2cos2θ ————- (1)
এখন (1) থেকে,
y2Sin2θ – x2cos2θ = 0
Or, y2Sin2θ – x2 (1- Sin2θ) = 0
Or, y2Sin2θ – x2 + x2 Sin2θ = 0
Or, Sin2θ(x2 + y2) = x2
Or, Sin2θ = x2/ (x2 + y2)
Or, Sinθ = x/√(x2 + y2) —————– (2)
আবার (1) থেকে,
y2 (1 – cos2θ) – x2cos2θ = 0
Or, y2 – y2 cos2θ – x2cos2θ = 0
Or, – cos2θ(x2 + y2) = – y2
Or, cos2θ(x2 + y2) = y2
Or, cos2θ= y2/(x2 + y2)
Or, cosθ = y/√(x2 + y2) ———— (3)
(2)-(3) থেকে পাই,
Sinθ – cosθ = x/√(x2 + y2) – y/√(x2 + y2)
= (x – y)/√(x2 + y2)
(প্রমাণিত)
Mental Ability
৫। তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাটি নির্ণয় করুনযার অঙ্কগুলাের যােগফল 11 এবং প্রতিটি অঙ্কমৌলিক সংখ্যা নির্দেশ করে।আপনার উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিন। (৫)
সমাধান:
যেহেতু, অঙ্ক ৩টিরযোগফল 11 এবং প্রতিটি অঙ্কইমোলিক সংখ্যা হবেএবং সংখ্যাটি ক্ষুদ্রতম হবে, সেহেতু সংখ্যাটির শুরুহবে ক্ষুদ্রতম মৌলিকসংখ্যা 2 দ্বারা।
এখন, বাকি দুটিঅংকের যোগফল হবে=(11-2) = 9
যোগফল 9 হবে এমনদুটি মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে 2 ও 7
তাহলে সংখ্যাটি হবে227 অথবা 272
কিন্তু, যে সকলসংখ্যার শেষে 2 অথবা0 থাকে তারা 2 দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ মৌলিকসংখ্যা নয়।
আবার, 227 সংখ্যাটি 2, 3, 5, 7, 11, 13, ও 17 মৌলিকসংখ্যার কোনটিই দ্বারা বিভাজ্য নয়।
অতএব, সংখ্যাটি হবে227যার অঙ্কগুলোর যোগফল11 এবং প্রত্যেকেই মৌলিকসংখ্যা।
সূচক
৬। সমাধান করুন4x-3(2x+2) + 25 = 0 (৫)
সমাধান:
4x-3(2x+2) + 25 = 0
Or, (2x)2 – 3(2x.22) + 32 = 0
Or, (2x)2 – 3(2x.4) + 32 = 0
Or, (2x)2 – 12. 2x + 32 = 0
Or, (2x)2 – 8. 2x – 4. 2x + 32 = 0
Or, 2x(2x – 8) -4(2x – 8) = 0
Or, (2x – 8)((2x – 4) = 0
এখন,
(2x – 8) = 0
Or, 2x = 8
Or, 2x = 23
Or, x = 3
অথবা,
(2x – 4) = 0
Or, 2x = 4
Or, 2x = 22
Or, x = 2
উত্তর: x = 2, 3
লগারিদম
(খ) If a = xyp-1, b = xyq-1, c=xyr-1 হলে প্রমাণ করুন যে, aq-r . br-p . cp-q = 1. (২.৫)
L.H.S.= aq-r . br-p . cp-q
= (xyp-1)(q-r) . (xyq-1)(r-p) . (xyr-1)(p-q)
=x(q-r).y(p-1)(q-r) . x(r-p).y(q-1)(r-p) . x(p-q).y(r-1)(p-q)
=x(q-r)+ (r-p)+ (p-q) . y(p-1)(q-r)+ (q-1)(r-p)+ (r-1)(p-q)
=x(q-r+r-p+p-q).y(pq-pr-q+r+qr-r-pq+p+pr-p-qr+q)
=x0y0
=1.1
=1 = R.H.S. (প্রমাণিত)
সুদকষা
৮। যদি চক্রবৃদ্ধি সুদেরক্ষেত্রে প্রথম, দ্বিতীয় ওতৃতীয় বছরে বার্ষিক সুদেরহার যথাক্রমে r1%, r2% এবং r3% হয়তবে তিন বছরশেষে P টাকার সমূলচক্রবৃদ্ধি কত হবে? (৫)
উত্তর:
r1% হার সুদে১ম বছরে সুদাসল,
= P(1+1.r1/100)টাকা
= P(1+r1/100)টাকা
r2% হারসুদে 2য় বছরেসুদাসল,
=P(1+r1/100(1 + r2/100)টাকা
=P(100+r1)(100+r2)/10000 টাকা
r3% হার সুদে৩য় বছরে সুদাসল,
= { P(100+r1)(100+r2)/10000}(1+r3100) টাকা
= P(100+r1)(100+r2)(1+r3100)/1000000 টাকা
সরলরেখা
৯। (1,2) ও (-3,5) বিন্দুগামী সরলরেখা থেকে (-2,0) বিন্দুটির দূরত্ব নির্ণয় করুন। (৫)
সমাধান:
(1,2) ও (-3,5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
(x-1)/(1+3) = (y-2)/(2-5)
Or, (x-1)/4 = (y-2)/(-3)
Or, -3x + 3 = 4y – 8
Or, -3x – 4y + 3 + 8 = 0
Or, – 3x – 4y + 11 = 0
Or, 3x + 4y – 11 = 0
এখন,
(-2,0) বিন্দুটি থেকে3x + 4y – 11 = 0 সরলরেখাটির দূরত্ব,
= |3.(-2) + 4.0 – 11|/√(32 + 42)
= |-6 – 11|/√(9+16)
= |-17|/√25
=17/5
অতএব, নির্ণেয় দূরত্ব = 17/5 একক
ভেনচিত্র
১০। 200 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে40 জন গণিতে, 20 জনপরিসংখ্যানে এবং 10 জনউভয় বিষয়ে ফেলকরে। একজন পরীক্ষার্থী দৈবভাবে নেওয়া হলাে। তার পক্ষে –
(ক) গণিতে ফেল এবং পরিসংখ্যানে পাশ
(খ) কেবল এক বিষয়ে পাশ
(গ) বড়জোর এক বিষয়ে পাশ করার সম্ভাবনা কত? (৫)
উত্তর:
গণিত/ পরিসংখ্যান | পরিসংখ্যান (ফেল) | পরিসংখ্যান (পাশ) | মোট |
গণিত (ফেল) | 10 (দেয়া আছে) | 30 | 40(দেয়া আছে) |
গণিত (পাশ) | 10 | 150 | 160 |
মোট | 20(দেয়া আছে) | 180 | 200(দেয়া আছে) |
উপরের ছক থেকে,
(ক) গণিতেফেল এবং পরিসংখ্যানে পাশ
মোট ঘটনা = 200
গণিতে ফেল এবংপরিসংখ্যানে পাশ করারঘটনা = 30
অতএব, সম্ভাব্যতা = 30/200 = 3/20
(খ) কেবলএক বিষয়ে পাশ
মোট ঘটনা = 200
কেবল পরিসংখ্যানে পাশ= 30 জন
কেবল গণিতে পাশ= 10 জন
কেবল 1 বিষয়ে পাশ= (30+10) জন = 40 জন
অতএব, সম্ভাব্যতা = 40/200 = 1/5
(গ) বড়জোর এক বিষয়ে পাশকরার সম্ভাবনা কত:
বড়জোর 1 বিষয়ে পাশঅর্থাৎ উভয় বিষয়েফেল এবং 1 বিষয়েপাশ করে
= (30+10+10) = 50 জন
অতএব, সম্ভাব্যতা = 50/200 = 1/4
বিন্যাস ও সমাবেশ
১১। (ক) MATHEMATICS শব্দটির অক্ষরগুলি দ্বারা কত ভাবে বিন্যাস করাসম্ভব? নির্ণয় করুন।(২.৫)
উত্তর:
মোট বর্ণ 11 টি।যার মধ্যে 2টিM, 2টি A ও 2টিT আছে।
অতএব, বিন্যাস সংখ্যা,
= 11!/(2!.2!2!)
= 4989600
(খ) COMBINATION শব্দটি হতে 4 অক্ষর বিশিষ্ট সম্ভাব্য সমাবেশ নির্ণয় করুন।(২.৫)
উত্তর:
COMBINATION শব্দটিতে 13 টিলেটার আছে।
এর মধ্যে O 2টা, I 2টা ও N 2টাঅর্থাৎ 3জোড়া
এখন সম্ভাব্য 3টিঘটনা ঘটতে পারে।
১ম ক্ষেত্রে,
4টি লেটারই স্বতন্ত্র,
8C4 = 8!/(8-4)!.4!= 8!/4!.4! = 70
২য় ক্ষেত্রে,
2টি লেটারএকই এবং বাকি2টি স্বতন্ত্র,
3 জোড়া থেকেদুটি একই এবংবাকি 7টি থেকে2টি স্বতন্ত্র লেটারনিয়ে,
3C1 × 7C2 = 63
৩য় ক্ষেত্রে,
2টি লেটারএকই এবং অন্যদুটিও একই,
3C2 = 3
অতএব, মোট সমাবেশ = 70+63+3 = 136
পরিমিতি
১২। ২৮ সেমিব্যাসের একটি অর্ধবৃত্তাকার ধাতুর পাতবাঁকিয়ে কোণক আকৃতির কাপ তৈরি করাহলাে। কাপটির গভীরতা ও ধারণ ক্ষমতা নির্ণয় করুন। (৫)
সমাধান:
দেয়া আছে,
অর্ধবৃত্তের ব্যাস = ২৮সেমি
অতএব, ব্যাসার্ধ = r = ২৮/২= ১৪সেমি
অর্ধবৃত্তের পরিধি = πr = ১৪π
অতএব, ব্যাসার্ধ = r = ২৮/২= ১৪সেমি
অর্ধবৃত্তের পরিধি = πr = ১৪π
এখন, অর্ধবৃত্তাকার ধাতুরপাত বাঁকিয়ে কোণকআকৃতির কাপ তৈরিকরা হলাে।
অতএব, কোণক আকৃতির কাপের কৌনিক উচ্চতা = অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৪সেমি
বৃত্তাকার তলের পরিধি, R = অর্ধবৃত্তের পরিধি,
অর্থাৎ,.
২πR = ১৪π
R = ৭ সেমি
কোনকের উচ্চতা, অর্থাৎ গভীরতা
R = ৭ সেমি
কোনকের উচ্চতা, অর্থাৎ গভীরতা
h =√(১৪২ – ৭২)
= √(১৯৬–৪৯) = √১৪৭ =৭√৩
কোনকের ধারণক্ষমতা বাআয়তন,
= (১/৩) πR2h
= (১/৩) × (২২/৭) × ৭২ × ৭√৩
= ৬২২.৩৭ ঘনসেমি
= (১/৩) πR2h
= (১/৩) × (২২/৭) × ৭২ × ৭√৩
= ৬২২.৩৭ ঘনসেমি