নবম–দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী–৩.১

বর্গ ও বর্গ সম্পর্কিত সমস্যাবলি

১. সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় করঃ

ক) 2a+3b

সমাধানঃ

2a+3b এর বর্গ

=(2a+3b)2

=(2a)2+2.2a.3b+(3b)2

=4a2+12ab+9b2

খ) x2+2/y2

সমাধানঃ

x2+2/y2 এর বর্গ

=( x2+2/y2)2

=(x2)2+2.×2.2/y2+(2/y2)2

=x4+4×2/y2+4/y2

গ) 4y-5x

সমাধানঃ

4y-5x  এর বর্গ

=(4y-5x)2

=(4y)2-2.4y.5x+(5x)2

=16y2-40xy+25×2

ঘ) 5×2-y

সমাধানঃ

5×2-y  এর বর্গ

=(5×2-y)2

=(5×2)2-2.5×2.y+y2

=25×4-10x2y+y2

ঙ) 3b-5c-2a

সমাধানঃ

3b-5c-2a  এর বর্গ

=(3b-5c-2a)2

={(3b-5c)-2a}2

=(3b-5c)2-2.(3b-5c).2a+(2a)2

=(3b)2-2.3b.5c+(5c)2-(6b+10c).2a+4a2

=9b2-30bc+25c2-12ab-20ac+4a2

চ) ax-by-cz

সমাধানঃ

ax-by-cz  এর বর্গ

=( ax-by-cz)2

={(ax-by)-cz}2

=(ax-by)2-2.(ax-by).cz+(cz)2

=(ax)2-2.ax.by+(by)2-2axcz+2bycz+c2z2

=a2x2-2axby+b2y2-2axcz+2bycz+c2z2

ছ) 2a+3x-2y-5z

সমাধানঃ

2a+3x-2y-5z এর বর্গ

=(2a+3x-2y-5z)2

={(2a+3x)-(2y+5z)}2

=(2a+3x)2-2.(2a+3x).(2y+5z)+(2y+5z)2

= (2a)2+2.2a.3x+(3x)2-2.(4ay+6xy+10az+15xz+(2y)2+2.2y.5z+(5z)2

=4a2+12ax+9×2-8ay-12xy-20az-30xz+4y2+20yz+25z2

জ) 1007

সমাধানঃ

1007 এর বর্গ

=(1000+7)2

=(1000)2+2.1000.7+(7)2

=1000000+14000+49

=1014049

২. সরল করঃ

ক) (7p+3q-5r)2-2(7p+3q-5r)(8p-4q-5r)+(8pp-4q-5r)2

সমাধানঃ

ধরি, 7p+3q-5r=a

এবং, 8p-4q-5r=b

∴প্রদত্ত রাশি

=a2-2.a.b+b2

=(a-b)2

={(7p+3q-5r)-(8p-4q-5r)}2  [মান বসিয়ে]

=(7p+3q-5r-8p+4q+5r)2

=(7q-p)2

=(7q)2-2.7q.p+(p)2

=49q2-14pq+p2

খ) (2m+3n-p)2+(2m-3n+p)2-2(2m+3n-p)(2m-3n+p)

সমাধানঃ

মনে করি, a=2m+3n-p

এবং b=2m-3n+p

প্রদত্ত রাশি

=a2+b2-2.a.b

=(a-b)2

={(2m+3n-p)-(2m-3n+p)}2  [মান বসিয়ে]

=(2m+3n-p-2m+3n-p)2

=(6n-2p)2

=(6n)2-2.6n.2p+(2p)2

=36n2-24np+4p2

গ) 6.35✕6.35+2✕6.35✕3.65+3.65✕3.65

সমাধানঃ

6.35✕6.35+2✕6.35✕3.65+3.65✕3.65

=(6.35)2+2✕6.35✕3.65+(3.65)2

=(6.35+3.65)2

=(10)2

=100

ঘ) 2345✕2345-759✕759

2345-759

৩. a-b=4 এবং ab=60 হলে, a+b এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a-b=4 এবং ab=60

আমরা জানি,

(a+b)2=(a-b)2+4ab

বা, (a+b)2=42+4✕60

বা, (a+b)2=16+240 [মান বসিয়ে]

বা, (a+b)2=256

বা, a+b=±√256

বা, a+b=±16

৪. a+b=9m এবং ab=18m2 হলে, a-b এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a+b=9m এবং ab=18m2

আমরা জানি,

(a-b)2

=(a+b)2-4ab

=(9m)2-4✕18m2 [মান বসিয়ে]

=81m2-72m2

=9m2

∴(a-b)= ±√9m2=±3m

৫. x-1/x=4 হলে,  প্রমান কর যে, x4+1/x4=322.

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

x-1/x=4

বা, (x-1/x)2=42

বা, x2-2.x.1/x+(1/x)2=16

বা, x2-2+1/x2=16

বা, x2+1/x2=16+2

বা, x2+1/x2=18

বা, (x2+1/x2)2=(18)2

বা, (x2)2+2.×2.1/x2+(1/x2)2=324

বা, x4+2+1/x4=324

বা, x4+1/x4=324-2

বা, x4+1/x4=322 (প্রমাণিত)

৬. 2x+2/x=3 হলে, x2+1/x2 এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

2x+2/x=3

বা, 2(x+1/x)=3

বা, x+1/x=3/2

বা, (x+1/x)2=(3/2)2

বা, x2+2.x.1/x+(1/x)2=9/4 (বর্গ করে)

বা, x2+1/x2+2=9/4

বা, x2+1/x2=9/4-2

বা, x2+1/x2=(9-8)/4

বা, x2+1/x2=1/4

৭. a+1/a=2 হলে, দেখাও যে, a2+1/a2=a4+1/a4

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

a+1/a=2

বা, (a2+1)/a=2

বা, a2+1=2a

বা, a2-2a+1=0

বা, (a-1)2=0

বা, a-1=0

বা, a=1

এখন,

বামপক্ষ= a2+1/a2=12+1/12=2

ডানপক্ষ= a4+1/a4=14+1/14=2

∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

৮. a+b=√7 এবং a-b=√5 হলে, প্রমাণ কর যে, 8ab(a2+b2)=24.

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a+b=√7 এবং a-b=√5

বামপক্ষ

=8ab(a2+b2)

=4ab✕2(a2+b2)

={(a+b)2-(a-b)2}{{(a+b)2+(a-b)2} [অনুসিদ্ধান্ত প্রয়োগ করে]

={(√7)2-(√5)2}{(√7)2+(√5)2}

=(7-5)(7+5)

=2✕12

=24

=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

৯. a+b+c=9 এবং ab+bc+ca=31 হলে, a2+b2+c2 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a+b+c=9 এবং ab+bc+ca=31

আমরা জানি,

a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)

=92-2.31 [মান বসিয়ে]

=81-62

=19

১০. a2+b2+c2 =9 এবং ab+bc+ca=8 হলে, (a+b+c)2 এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a2+b2+c2 =9 এবং ab+bc+ca=8

আমরা জানি,

(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)

=9+2.8 [মান বসিয়ে]

=9+16

=25

১১. a+b+c=6 এবং a2+b2+c2 =14 হলে, (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2= কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a+b+c=6 এবং a2+b2+c2 =14

এখন,

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2

=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ca+c2

=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca

=2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)

=2(a2+b2+c2)+( a2+b2+c2)-(a+b+c)2     [a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)]

=2*14+14-62

=28+14-36

=42-36

=6

১২. x=3, y=4 এবং z=5 হলে,9×2+16y2+4z2-24xy-16yz+12zx= কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x=3, y=4 এবং z=5

এখন,

9×2+16y2+4z2-24xy-16yz+12zx

=(3x)2+(-4y)2+(2z)2+2.3x(-4y)+2.(-4y).2z+2.2z.3x

={3x+(-4y)+2z}2

=(3x-4y+2z)2

=(3.3-4.4+2.5)2

=(9-16+10)2

=32

=9

১৩. (a+2b)(3a+2c) কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ কর।

১৪. x2+10x+24 কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরুপে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

x2+10x+24

=x2+2.x.5+52-1

=(x+5)2-12 [এটিই দুইটি বর্গের বিয়োগফল]

১৫. a4+a2b2+b4=8 এবং a2+ab+b2=4 হলে, ক) a2+b2, খ) ab এর মান কত?

সমাধানঃ

(ক)

দেওয়া আছে,

a4+a2b2+b4=8 ………….(1)

a2+ab+b2=4 ……………..(2)

(1)….হতে,

a4+a2b2+b4=8

বা, (a2)2+2.a2.b2+(b2)2-a2b2=8

বা, (a2+b2)2-(ab)2=8

বা, (a2+b2+ab)(a2+b2-ab)=8

বা, 4(a2+b2-ab)=8

বা, a2+b2-ab=8/4=2……………..(3)

(2)+(3) করে পাই,

2a2+2b2=4+2

বা, a2+b2=6/2

বা, a2+b2=3

(খ)

(2)-(3) করে পাই,

2ab=4-2

বা, ab=2/2

বা, ab=1

আরো পড়ুনঃ-

পরিমিতির সকল সূত্র এবং সমাধান পিডিএফ ডাউনলোড

প্রফেসর’স গণিত স্পেশাল প্রফেসর’স সম্পাদনা পরিষদ পিডিএফ ডাউনলোড

গণিতের বেসিক আলোচনা পিডিএফ ডাউনলোড

লাভ ও ক্ষতি থেকে বাছাই করা সকল প্রশ্ন সমাধান

সুদকষা থেকে বাছাই করা সকল প্রশ্ন সমাধান

ক্ষেত্রফল ও পরিমাপের বাছাই করা সকল প্রশ্ন সমাধান একসাথে

Download From Google Drive

Download

Download From Yandex

Download

👀 প্রয়োজনীয় মূর্হুতে 🔍খুঁজে পেতে শেয়ার করে রাখুন.! আপনার প্রিয় মানুষটিকে “send as message”এর মাধ্যমে শেয়ার করুন। হয়তো এই গুলো তার অনেক কাজে লাগবে এবং উপকারে আসবে।