বিসিএস প্রস্তুতি বৃত্ত সম্পর্কিত সকল তথ্য একসাথে

বিগত সালের BCS Preliminary- তে এখান থেকে প্রশ্ন এসেছে ২টি।

প্রথম কথা বৃত্ত কাকে বলে?

সহজভাবে বলতে গেলে- এক টাকার একটি বাংলাদেশি মুদ্রা নিয়ে সাদা কাগজের উপর রেখে মুদ্রাটির মাঝ বরাবর বাঁ হাতের তর্জনি দিয়ে চেপে ধরি। এই অবস্থায় ডান হাতে সরু পেন্সিল নিয়ে মুদ্রাটির গাঁ ঘেষে চারদিকে ঘুরিয়ে আনি। মুদ্রাটি সরিয়ে নিলে কাগজে একটি গোলাকার আবদ্ধ বক্ররেখা দেখা যাবে। এটি একটি বৃত্ত।

Circle

এবার যদি একটু কঠিন করে বলে তাহলে বলতে হয়- একটি নির্দিষ্ট বিন্দু(কেন্দ্র) থেকে সমদূরত্বের(ব্যাসার্ধ) সকল বিন্দুর সঞ্চারপথকে বৃত্ত বলে।

বৃত্তের ব্যাস, ব্যাসার্ধ ও কেন্দ্র কাকে বলে?

বৃত্তের কেন্দ্রঃ বৃত্ত আঁকার সময় নির্দিষ্ট একটি বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুগুলোকে আঁকা হয়। এই নির্দিষ্ট বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র, চিত্রের বৃত্তটির কেন্দ্র O.

ব্যাসার্ধ কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যেকোনো বিন্দুর দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলা হয়। এখানে ব্যাসার্থকে R দিয়ে চিহ্নিত করা হয়ছে।

R তে Radius. (বহুবচনে- Raddi) এটি ব্যাস(D) এর অর্ধেক বলে, এর নাম ব্যাসার্ধ। ব্যাসার্ধ, $r = frac{d}{2} $

ব্যাসঃ ব্যাসকে ইংরেজিতে Diameter বলে। তাই একে D দিয়ে প্রকাশ করা হয়। যে সরল রেখা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায় এবং বৃত্তের পরিধির দুটি বিন্দুকে সংযোগ করে তাকে ব্যাস বলে। চিত্রে D ব্যাস। ব্যাসের অর্ধেক কে ব্যাসার্ধ বলে। ব্যাস, $ d= 2r $ । যেকোন ব্যাস বৃত্তটিকে সমান দুটিভাগে ভাগ করে।

পরিধি কী? বৃত্তের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্যকে পরিধি বলে। অর্থাৎ বৃত্তস্থিত যেকোনো বিন্দু C থেকে বৃত্ত বরাবর ঘুরে পুনরায় C বিন্দু পর্যন্ত পথের দূরত্বই পরিধি। আরও সহজ কথায় বৃত্তটিকে মাটির উপর দিয়ে একবার ঘুরালে- রৈখিকভাবে যে দূরত্ব অতিক্রান্ত হয় তাকে পরিধি বলে। পরিধিকে ইংরেজিতে Circumference বলে। পরিধি বের করার সুত্র- $ 2pi r $. ছোট বৃত্তের ব্যাস ছোট, পরিধিও ছোট; অন্যদিকে বড় বৃত্তের ব্যাস বড়, পরিধিও বড়।

বৃত্তের জ্যা কাকে বলে?

Circle Arc

পাশের চিত্রে, একটি বৃত্ত দেখানো হয়েছে, যার কেন্দ্র O । বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু P , Q নিয়ে এদের সংযোজক রেখাংশ PQ টানি। PQ রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা। যেকোন জ্যা বৃত্তটিকে দুইটি অংশে বিভক্ত করে। ব্যাসও যেহেতু বৃত্তের পরিধির দুটি বিন্দুকে যোগ করে তাই ব্যাস নিজেও একটি জ্যা। এক্ষেত্রে মনে রাখতে হবে যে- ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।

বৃত্তের চাপ কাকে বলে?

সংক্ষেপে, বৃত্তের পরিধির যেকোন অংশকে চাপ বলে। PQ জ্যাটির দুই পাশের দুই অংশে বৃত্তটির উপর দুইটি বিন্দু Z , Y নিলে ঐ দুইটি অংশের নাম PZQ ও PYQ চাপ। আবার PQ, PZ, ZQ বা QY প্রত্যেকটি একেকটি চাপ। জ্যা দ্বারা বিভক্ত বৃত্তের প্রত্যেক অংশকে বৃত্তচাপ, বা সংক্ষেপে চাপ বলে। প্রত্যেক জ্যা বৃত্তকে দুইটি চাপে বিভক্ত করে। বৃত্তে তিন ধরনের চাপ হতে পারে। যখন জ্যাটি কেন্দ্র দিয়ে যাবে(অর্থাৎ ব্যাস) তখন দুটি সমান চাপের সৃষ্টি হবে। অন্যথায় একটি অধিচাপ অপরটি উপচাপ। অর্ধবৃত্তের বড় হলে তাকে অধিচাপ বলে যেমন- PZQ, অপরদিকে অর্ধবৃত্তের চেয়ে চাপটি ছোট হলে তাকে উপচাপ বলে- যেমন- PYQ.

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য

বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর উপর লম্ব।

বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।

যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।

বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।

বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত $ (pi)$

কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত ধ্রুবক । একে গ্রিক অক্ষর π (পাই) দ্বারা নির্দেশ করা হয়। অর্থাৎ, বৃত্তের পরিধি $ 2pi r $ ও ব্যাস $ 2r $ হলে অনুপাত = $frac{2pi r }{2r}=pi \$

প্রাচীন কাল থেকে গণিতবিদগণ π-এর আসন্ন মান নির্ণয়ের চেষ্টা করেছেন। ভারতীয় গণিতবিদ আর্যভট্ট (৪৭৬−৫৫০ খ্রিষ্টাব্দ) π-এর আসন্ন মান নির্ণয় করেছেন $

frac{২০০০০}{৬২৮৩২}= ৩⋅১৪১৬ $ (প্রায়)

গণিতবিদ শ্রীনিবাস রামানুজন (১৮৮৭−১৯২০) -এর আসন্ন মান বের করেছেন যা দশমিকের পর মিলিয়ন ঘর পর্যন্ত সঠিক। প্রকৃতপক্ষে, একটি অমূলদ সংখ্যা। আমাদের দৈনন্দিন হিসাবের প্রয়োজনে পাইয়ের এর আসন্ন মান $ frac{৭}{২২} $ ধরা হয়। [২৬, ১৬তম বিসিএস প্রিলিমিনারি]

বৃত্ত সম্পর্কিত সূত্রঃ

বৃত্তের কেন্দ্রে $360^0$ কোণ উৎপন্ন হয়।

বৃত্তের পরিধিঃ $2pi r$

বৃত্তের ক্ষেত্রফলঃ $pi r^2$

ব্যাসার্ধ, $r = frac{d}{2} $ত্ত সম্পর্কিত তথ্য – Education BCS Preparation

বিগত সালের BCS Preliminary- তে এখান থেকে প্রশ্ন এসেছে ২টি।

প্রথম কথা বৃত্ত কাকে বলে?

সহজভাবে বলতে গেলে- এক টাকার একটি বাংলাদেশি মুদ্রা নিয়ে সাদা কাগজের উপর রেখে মুদ্রাটির মাঝ বরাবর বাঁ হাতের তর্জনি দিয়ে চেপে ধরি। এই অবস্থায় ডান হাতে সরু পেন্সিল নিয়ে মুদ্রাটির গাঁ ঘেষে চারদিকে ঘুরিয়ে আনি। মুদ্রাটি সরিয়ে নিলে কাগজে একটি গোলাকার আবদ্ধ বক্ররেখা দেখা যাবে। এটি একটি বৃত্ত।

Circle

এবার যদি একটু কঠিন করে বলে তাহলে বলতে হয়- একটি নির্দিষ্ট বিন্দু(কেন্দ্র) থেকে সমদূরত্বের(ব্যাসার্ধ) সকল বিন্দুর সঞ্চারপথকে বৃত্ত বলে।

বৃত্তের ব্যাস, ব্যাসার্ধ ও কেন্দ্র কাকে বলে?

বৃত্তের কেন্দ্রঃ বৃত্ত আঁকার সময় নির্দিষ্ট একটি বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুগুলোকে আঁকা হয়। এই নির্দিষ্ট বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র, চিত্রের বৃত্তটির কেন্দ্র O.

ব্যাসার্ধ কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যেকোনো বিন্দুর দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলা হয়। এখানে ব্যাসার্থকে R দিয়ে চিহ্নিত করা হয়ছে।

R তে Radius. (বহুবচনে- Raddi) এটি ব্যাস(D) এর অর্ধেক বলে, এর নাম ব্যাসার্ধ। ব্যাসার্ধ, $r = frac{d}{2} $

ব্যাসঃ ব্যাসকে ইংরেজিতে Diameter বলে। তাই একে D দিয়ে প্রকাশ করা হয়। যে সরল রেখা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায় এবং বৃত্তের পরিধির দুটি বিন্দুকে সংযোগ করে তাকে ব্যাস বলে। চিত্রে D ব্যাস। ব্যাসের অর্ধেক কে ব্যাসার্ধ বলে। ব্যাস, $ d= 2r $ । যেকোন ব্যাস বৃত্তটিকে সমান দুটিভাগে ভাগ করে।

পরিধি কী? বৃত্তের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্যকে পরিধি বলে। অর্থাৎ বৃত্তস্থিত যেকোনো বিন্দু C থেকে বৃত্ত বরাবর ঘুরে পুনরায় C বিন্দু পর্যন্ত পথের দূরত্বই পরিধি। আরও সহজ কথায় বৃত্তটিকে মাটির উপর দিয়ে একবার ঘুরালে- রৈখিকভাবে যে দূরত্ব অতিক্রান্ত হয় তাকে পরিধি বলে। পরিধিকে ইংরেজিতে Circumference বলে। পরিধি বের করার সুত্র- $ 2pi r $. ছোট বৃত্তের ব্যাস ছোট, পরিধিও ছোট; অন্যদিকে বড় বৃত্তের ব্যাস বড়, পরিধিও বড়।

বৃত্তের জ্যা কাকে বলে?

Circle Arc

পাশের চিত্রে, একটি বৃত্ত দেখানো হয়েছে, যার কেন্দ্র O । বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু P , Q নিয়ে এদের সংযোজক রেখাংশ PQ টানি। PQ রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা। যেকোন জ্যা বৃত্তটিকে দুইটি অংশে বিভক্ত করে। ব্যাসও যেহেতু বৃত্তের পরিধির দুটি বিন্দুকে যোগ করে তাই ব্যাস নিজেও একটি জ্যা। এক্ষেত্রে মনে রাখতে হবে যে- ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।

বৃত্তের চাপ কাকে বলে?

সংক্ষেপে, বৃত্তের পরিধির যেকোন অংশকে চাপ বলে। PQ জ্যাটির দুই পাশের দুই অংশে বৃত্তটির উপর দুইটি বিন্দু Z , Y নিলে ঐ দুইটি অংশের নাম PZQ ও PYQ চাপ। আবার PQ, PZ, ZQ বা QY প্রত্যেকটি একেকটি চাপ। জ্যা দ্বারা বিভক্ত বৃত্তের প্রত্যেক অংশকে বৃত্তচাপ, বা সংক্ষেপে চাপ বলে। প্রত্যেক জ্যা বৃত্তকে দুইটি চাপে বিভক্ত করে। বৃত্তে তিন ধরনের চাপ হতে পারে। যখন জ্যাটি কেন্দ্র দিয়ে যাবে(অর্থাৎ ব্যাস) তখন দুটি সমান চাপের সৃষ্টি হবে। অন্যথায় একটি অধিচাপ অপরটি উপচাপ। অর্ধবৃত্তের বড় হলে তাকে অধিচাপ বলে যেমন- PZQ, অপরদিকে অর্ধবৃত্তের চেয়ে চাপটি ছোট হলে তাকে উপচাপ বলে- যেমন- PYQ.

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য

বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা-এর উপর লম্ব।

বৃত্তের যেকোনো জ্যা-এর লম্ব-দ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।

যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।

বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।

বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত $ (pi)$

কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত ধ্রুবক । একে গ্রিক অক্ষর π (পাই) দ্বারা নির্দেশ করা হয়। অর্থাৎ, বৃত্তের পরিধি $ 2pi r $ ও ব্যাস $ 2r $ হলে অনুপাত = $frac{2pi r }{2r}=pi \$

প্রাচীন কাল থেকে গণিতবিদগণ π-এর আসন্ন মান নির্ণয়ের চেষ্টা করেছেন। ভারতীয় গণিতবিদ আর্যভট্ট (৪৭৬−৫৫০ খ্রিষ্টাব্দ) π-এর আসন্ন মান নির্ণয় করেছেন $

frac{২০০০০}{৬২৮৩২}= ৩⋅১৪১৬ $ (প্রায়)

গণিতবিদ শ্রীনিবাস রামানুজন (১৮৮৭−১৯২০) -এর আসন্ন মান বের করেছেন যা দশমিকের পর মিলিয়ন ঘর পর্যন্ত সঠিক। প্রকৃতপক্ষে, একটি অমূলদ সংখ্যা। আমাদের দৈনন্দিন হিসাবের প্রয়োজনে পাইয়ের এর আসন্ন মান $ frac{৭}{২২} $ ধরা হয়। [২৬, ১৬তম বিসিএস প্রিলিমিনারি]

বৃত্ত সম্পর্কিত সূত্রঃ

বৃত্তের কেন্দ্রে $360^0$ কোণ উৎপন্ন হয়।

বৃত্তের পরিধিঃ $2pi r$

বৃত্তের ক্ষেত্রফলঃ $pi r^2$

ব্যাসার্ধ, $r = frac{d}{2} $